Родился 15 августа 1922 года в деревне Воскресенка ныне Калачинского района Омской области в крестьянской семье. Русский. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года. Окончив 7 классов, работал наборщиком, заместителем начальника цеха в типографии «Камчатская правда». В 1941 году переехал в город Сталинград (с 1961 года – Волгоград, с 1965 года – город-герой) и работал на метизном заводе.
     В Красной Армии с июля 1941 года. В 1942 году окончил Сталинградское танковое училище. В боях Великой Отечественной войны с октября 1942 года. Вступил в схватку с врагом командиром танка на Сталинградском фронте. Воевал на Юго-Западном, Донском, 2-м Украинском фронтах.
     Командир танка 441-го танкового батальона (110-я танковая бригада, 18-й танковый корпус, 1-я гвардейская армия, Юго-Западный фронт) комсомолец младший лейтенант Калинин Г.Г. 22 декабря 1942 года первым ворвался в хутор Верхнечирский Боковского района Ростовской области.
     В дальнейшем, преследуя противника, бесстрашный командир танка и вверенный ему экипаж уничтожили до роты гитлеровцев, девять противотанковых орудий, шесть миномётов.

     Указом Президиума Верховного Совета СССР от 31 марта 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм младшему лейтенанту Калинину Гавриилу Григорьевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 923).
     В Орловско-Курской битве под легендарной станцией «Прохорова», где произошло одно из величайших таковых сражений периода 2-й мировой войны, Г.Г. Калинин был тяжело ранен.
     После войны отважный офицер-танкист продолжал службу в армии. В 1949 году он окончил Высшую офицерскую школу в Ленинграде (с 1965 года – город-герой, с 1991 года – Санкт-Петербург), в 1956 году - Военную академию бронетанковых войск. Избирался депутатом Верховного Совета Украинской ССР 6-го созыва. С 1978 года генерал-майор танковых войск Г.Г. Калинин - в отставке. Жил в Киеве. Скончался 22 марта 1995 года. Похоронен в Киеве на Лесном кладбище.
     Награждён двумя орденами Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденом Отечественной войны 1-й степени, двумя орденами Красной Звезды, орденом «За службу Родине в Вооружённых Силах СССР» 3-й степени, медалями.